Занятие 2. Принцип Ферма.

 

Принцип Ферма

Принцип минимального времени

В  1660 г. П. Ферма, сформулировал принцип, который явился обобщенным законом и геометрической оптики. В простейшей формулировке этот принцип звучит так.

 

 

В вакууме скорость света максимальна. В оптической среде с показателем преломления п время прохождения светом того же расстояния увеличивается в п раз.  Величина s,  равная  пpoизведению абсолютного показателя преломления  n на пройденном расстояние l  (s = nl), называется оптической длиной пути. Принцип Ферма относится именно к оптической длине пути

 

 Прямолинейность распространения света.

Используя принцип Ферма, можно получить закон прямолинейного распространении света. Свет из одной точки в другую распространяется по кратчайшему расстоянию. В однородной среде кратчайшим оптически и путем является прямая линия.

Однако в неоднородной среде кратчайшим оптическим путем может оказаться некоторая кривая (или ломаная) линия, вдоль которой показатель преломления меньше, чем вдоль геометрической прямой. Этим объясняется явление преломления света и искривление световых лучей в неоднородной среде — явление рефракции.

 Закон отражения.

 Пусть на зеркальную поверхность падает свет из точки А. В точке А' собираются лучи, отраженные от зеркала. Предположим, что свет из точки А в точку А' может распространяться двумя путями — отражаясь от точек О и О'. Время, которое потребуется свету, чтобы пройти из источника А в точку А' через точку О, можно определить из выражения   

Здесь u — скорость распространения света. Покажем, что время прохождения света по траектории АОА' меньше, чем по любой другой траектории АО'А'.

Продифференцируем выражение и приравняем производную нулю в соответствии с принципом Ферма.

 

 Учтем, что sin a = x/AO, sin a = (L - х) /ОА'. Получим:

 

 Отсюда получаем sin a = sin a '; а так как оба угла острые, то отсюда следует равенство углов:

a a '

Мы получили соотношение, выражающее закон отражения угол отражения a' равен углу падения a . Из принципа Ферма следует и  вторая часть этого закона:  отраженный луч лежит в плоскости, проходящей через падающий луч и нормаль сражающей поверхности. Ведь если бы эти лучи лежали в разных плоскостях, то не был бы минимальным путь АОА'.

Закон преломления света

 

 

            

Закон  преломления света. Аналогичным образом, используя принцип Ферма, рассмотрим явление, происходящее на границе раздела двух сред. Пусть в среде I скорость света u1, в среде IIu2. Для прохождения света из точки А1 в точку A2 будет затрачено время

 

Выберем из всех возможных траекторий распространения света ту, которой соответствует минимальное время распространения света. Продифференцировав и положив производную равной пулю, получим:

 

Учитывая, что sin a1 = x/A1O, sin a2 = (L - х) /ОА2 получим :  Откуда следует :

Это и есть закон преломления света. Запишем его в более удобной форме.

 

 

Из построений и принципа Ферма следует также, что преломленный луч лежит в плоскости, проходящей через падающий луч и перпендикуляр к поверхности раздела двух сред.

Рассматривая падение светового пучка на границу раздела двух сред, мы говорили раздельно об отражении и преломлении света. Это было вызвано необходимостью вывода законов отражения и преломления света. Однако практически всегда на границе раздела двух сред световой пучок разделяется на два - отраженный и преломленный.

 

 

Сайт создан по технологии «Конструктор e-Publish»
Hosted by uCoz